Inégalité maximale de Doob - Math'φsics

Inégalité maximale de Doob

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Inégalité maximale de Doob :
\((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une Sous-martingale

\(n\geqslant0\)

\(\lambda\gt 0\)

$$\Huge\iff$$

$$\begin{align}\lambda{\Bbb P}(\max_{k\leqslant n} X_k\geqslant\lambda)&\leqslant{\Bbb E}[X_n\Bbb 1_{\{\max_{k\leqslant n}X_k\geqslant\lambda\} }]\\ &\leqslant{\Bbb E}[X_n^+]\end{align}$$
Démontrer :

On modélise la situation par un Temps d'arrêt.

On applique un résultats aux temps d'arrêt \(T\land n\) et \(n\).

On peut alors décomposer \({\Bbb E}[X_{T\land n}]\) via une indicatrice indiquant si on est \(\leqslant n\) ou pas.

Une majoration de la première espérance nous permet de conclure.
Rétroliens :
- Inégalité de Doob dans Lp